Roofs 2007-09-06 Vergelijkende bouw­fysische berekeningen tussen ‘zwart’ en ‘wit’

In het voorjaar werd er in Roofs een discussie gevoerd waarin werd ingegaan op de bouwfysische verschillen tussen een zwarte (zonnestraling absorberende) en een witte (zonnestraling reflecterende) dakbedekking. Om een en ander getalsmatig te onderbouwen, schreef E. Tammes, een van de auteurs van Warmte- en vochttransport in bouwconstructies, een kwantitatieve benadering van het bouwfysische aspect van deze discussie.

E. Tammes

 

Terecht werd in de voorgaande artikelen gesteld dat gedurende een zonnige zomerperiode de witte kleur weliswaar een geringere warmteafgifte naar de dakconstructie, en derhalve naar de onder het dak gelegen ruimte, oplevert – maar dat anderzijds in zonnige periode gedurende het stookseizoen de zwarte dakbedekking hoger scoort gezien het beter ‘benutten’ van de zonnestraling. Even terecht werd aangetekend dat bij dit alles ook de mate van thermische isolatie van de dakconstructie een eminente rol speelt.

Wil men de hier geschetste problematiek getalmatig onderbouwen, dan stuit men op de moeilijkheid dat zonnestraling een bij uitstek niet-stationair fenomeen is, waarvan een analytische kwantitatieve benadering nogal gecompliceerd is. In referentie [1] wordt aan dat onderwerp de nodige aandacht besteed. De navolgende beschouwing is daar dan ook op gebaseerd.

 

Grootte van de zonnestralingsdichtheid
De grootte van de directe zonnestralingsdichtheid (qz) op het aardoppervlak – en dus ook op een dakoppervlak – is uiteraard afhankelijk van het seizoen en van het tijdstip van de dag. De hoogste stralingsdichtheid treedt per definitie op als de zon op haar hoogste punt aan de hemel staat (tijdstip aan te duiden als tz).
Voor posities op 50 graden noorderbreedte gelden op het tijdstip t = tz ongeveer de volgende waarden:
Juni:                 qz = 900 W/m2
Maart/sept:          qz = 600 W/m2
December:          qz = 250 W/m2

Het verloop van de stralingsdichtheid over een etmaal gedurende een zonnige periode kan met vrij redelijke benadering worden weergegeven door de volgende periodieke functie:
(1)  qz = qgem + qamp · cos[(2π/24)(t tz)]

Waarin:
qgem      is de over het etmaal gemiddelde stralingsdichtheid (W/m2);
qamp      is de amplitudo van de stralingsdichtheid (W/m2);
t          is de tijd in klokuren;
tz          is het tijdstip van de hoogste zonnestand.

Het valt gemakkelijk in te zien dat de maximale stralingsdichtheid – zijnde qgem + qamp – optreedt op het tijdstip t = tz omdat dan de cosinusterm de maximale waarde +1 bereikt.
Als geschikte getalwaarden voor qgem en qamp (in W/m2) kunnen worden aangehouden:

 

 

Maand

qgem (W/m2)

qamp (W/m2)

Juni

300

600

Maart/september

0

600

December

-250

500

Uiteraard geeft relatie (1) alleen positieve waarden voor q op tijdstippen tussen zonsopkomst en zonsondergang. Voor tijdstippen tussen zonsondergang en zonsopkomst heeft de formule slechts een mathematische en geen fysische betekenis.
De hoeveelheid zonnestraling die daadwerkelijk door het dak wordt geabsorbeerd bedraagt aqz W/m2 waarin a de absorptiefactor van de dakbedekking voorstelt. Deze kan globaal worden gesteld op 0,2 voor een witte dakhuid en op 0,9 voor een donker gekleurde dakhuid.

 

De zon-luchttemperatuur
Naast de opvang van zonnestraling zal aan het dakoppervlak ook warmteuitwisseling plaatsvinden met de aangrenzende lucht. De grootte daarvan vindt men als het product van de warmteovergangscoëfficient aan buitenoppervlakken (ae) (zijnde 25 W/ m2 · K)) en het temperatuurverschil tussen buitenomgeving en dakoppervlak (Te – Td).
De totale warmtetoevoer naar de dakbedekking is dan gelijk aan de som van de invloeden van zonnestraling en buitenlucht: qtot = ae · ( Te – Td) + aqz. Het behoeft geen betoog dat in de loop van de dag de temperatuur van het dakoppervlak vanwege de zonnestraling hoger zal worden dan de buitentemperatuur. De eerste term in de bovenstaande betrekking voor qtot zal dan een negatieve waarde verkrijgen.

De buitentemperatuur varieert uiteraard ook in de loop van het etmaal. Deze kan ook weer worden voorgesteld als een periodieke functie van dezelfde gedaante als relatie (1):
(2)  Te = Te gem + Te amp · cos[(2π/24)(t tz – 2)]

Betrekking (2) laat zien dat de maximale temperatuur van de buitenomgeving geacht wordt twee uren na de hoogste zonnestand op te treden zoals ook correspondeert met de praktijkervaringen.
Met betrekking tot de waarden van Te gem en  Te amp lijken de volgende – overigens niet extreme – seizoenswaarden redelijke aannamen te zijn:

 

Maand

Te gem  (°C)

Te amp (°C)

Juni

20

5

Maart/september

10

4

December

3

3

Het is mogelijk om de door het dakoppervlak geabsorbeerde hoeveelheid zonnestraling (aqz) te ‘vertalen’ in een soort equivalente buitentemperatuur die hetzelfde effect heeft als de zonnestraling en het resultaat daarvan te superponeren op de door relatie (2) bepaalde waarde van de werkelijke buitentemperatuur. Het resultaat hiervan wordt de zon-luchttemperatuur (Tzl) genoemd, bepaald door: Tzl = aqz / ae + Te. De hoogte van de zon-luchttemperatuur wordt dus mede bepaald door de absorptiefactor (a) van de dakhuid.

Ook de zon-luchttemperatuur kan weer worden voorgesteld door een relatie van de inmiddels bekende gedaante:
(3)  Tzl = Tzl gem + Tzl amp · cos [(2π/24) (t tz – ∆tzl)]

Waarin ∆tzl de faseverschuiving ten opzichte van tz voorstelt. Deze faseverschuiving zal dichter bij tz liggen naarmate de absorptiefactor van de dakhuid hoger is omdat dan de invloed van de zonnestraling groter is.
Voor substitutie in relatie (3) zijn de hieronder vermelde waarden berekend:

 

Maand

Dakhuid

Tzl gem (°C)

Tzl amp (°C)

tzl (uren)

 

 

 

 

 

Juni

Donker

30,8

26,1

0,4

Juni

Wit

22,4

9,5

1,0

 

 

 

 

 

Mrt/sept

Donker

10

25,8

0,3

Mrt/sept

Wit

10

8,6

0,9

 

 

 

 

 

December

Donker

- 6,4

21,3

0,3

December

Wit

0,9

6,9

0,8

 

Opvallend is dat de kleur van de dakhuid zich vooral doet gelden in de amplitudo van de zon-luchttemperatuur.
Het spreekt natuurlijk vanzelf dat relatie (3) alleen een fysische betekenis heeft in de periode tussen zonsopkomst en zonsondergang. Na zonsondergang heeft relatie (2) het alleen voor het zeggen! Als ‘zonneperioden’ zijn aangehouden:
Juni:                 van tz – 8 uren tot tz + 8 uren
Maart/sept:          van tz – 6 uren tot tz + 6 uren
December:          van tz – 4 uren tot tz + 4 uren 

De temperatuur aan het onderoppervlak van de dakconstructie
Een deel van de warmte die vanaf de dakhuid de constructie binnendringt zal na zekere tijd het onderoppervlak van de constructie bereiken en vervolgens aan de onder het dak gelegen ruimte worden afgegeven. Het overige deel zal na enige tijd van ‘opslag’ in het inwendige van de constructie weer naar de buitenomgeving worden afgevoerd. Voor een rekenkundige benadering van de hoeveelheden warmte die hierbij in het geding zijn, is het noodzakelijk om afspraken te maken over de daarbij aan te houden randcondities. Voor wat betreft de buitenomstandigheden ligt de zaak vrij eenvoudig. Uitgangspunten zijn uiteraard de in de relaties (2) en (3) vastgelegde grootheden Te en Tzl. Verder geldt als premisse dat het dakoppervlak geen schaduwwerking van andere objecten ontvangt. Voor de binnenomgeving zal een constante temperatuur (Ti) worden aangehouden. Deze aanname is uiteraard voor discussie vatbaar doch ieder – misschien iets meer realistisch – alternatief brengt een niet te overziene hoeveelheid rekenkundige complicaties met zich mee. Als constante binnentemperatuur zal worden aangehouden: voor juni Ti = 23 °C, voor maart/september alsook december Ti = 20 °C.

Het kernpunt van de discussie is primair de hoeveelheid (zonne)warmte die via de dakconstructie doordringt in de onder het dak gelegen ruimte. De daarbij in het geding zijnde warmtestroomdichtheid (qi) wordt bepaald als het product van de warmteovergangscoëfficiënt aan het binnenoppervlak (ai = 7,6 W/(m2 · K)) en het verschil in temperatuur tussen het onderoppervlak van het dak (To) en de binnenomgeving(Ti). In formule uitgedrukt: qi = ai · (To – Ti). Nu zal in de nachtelijke perioden (ook in de maand juni!) de binnentemperatuur altijd hoger zijn dan die van het onderoppervlak van het dak zodat qi dan een negatieve waarde krijgt. Ditzelfde geldt ook voor een geheel zonnig etmaal in de maand december. Om de constant veronderstelde binnentemperatuur te handhaven is dan de verwarmingsinstallatie nodig!

Hierboven is gesteld dat slechts een deel van de via de dakhuid binnendringende zonnewarmte uiteindelijk het onderoppervlak van de constructie bereikt. De vraag is nu: hoe groot is dit deel en wat moet men verstaan onder ‘uiteindelijk’? Het antwoord op deze beide vragen wordt bepaald door twee eigenschappen van de dakconstructie, namelijk de warmtedoorgangscoëfficiënt (U) van de totale constructie en de warmtecapaciteit van de draagvloer. Berekeningen dienaangaande leveren twee grootheden op die bepalend zijn voor het verloop van To.  Deze grootheden zijn de amplitudodemping (e) t.o.v. de buitencondities Te amp en Tzl amp en de faseverschuiving (∆to) t.o.v. de tijdstippen (tz + 2) resp. (tz + ∆tzl). De berekening van deze beide grootheden is een uiterst gecompliceerde zaak waarop hier niet nader zal worden ingegaan. De hierin geïnteresseerde lezer wordt verwezen naar referentie [1].

Op grond van het bovenstaande kan nu het volgende paar betrekkingen voor de temperatuur aan de onderkant van het dak worden afgeleid:

(4a)  To = Ti + U · (Te gem - Ti) / ai + e · Te amp · cos[(2π/24)(t tz – 2 – ∆to)]

(4b)  To = Ti + U · (Tzl gem - Ti) / ai + e · Tzl amp · cos[(2π/24)(t tz – ∆tzl – ∆to)]

De door deze betrekkingen gerepresenteerde curven snijden elkaar bij twee verschillende waarden van t, aan te duiden als t1 en t2. In het deel van het tijdsinterval waarbinnen de waarde t = tz + ∆tzl + ∆to valt moet To via relatie (4b) worden bepaald, in het overige deel via relatie (4a).

 

Warmteuitwisseling tussen onderkant dak en binnenruimte
In het voorgaande is een formule gegeven voor de berekening van de warmtestroomdichtheid (qi) tussen de onderkant van het dak en de binnenomgeving. Een positieve uitkomst duidt daarbij op een naar beneden gerichte warmtestroom; een negatieve uitkomst op een naar boven gerichte stroom. Gezien de eerder aangenomen randconditie van een constante binnentemperatuur doet het er energetisch gezien niet toe of voor de handhaving van die constante binnentemperatuur de verwarmings- dan wel de koelinstallatie moet worden ingeschakeld. Voor de berekening van qi moet dus altijd de absolute waarde van het temperatuurverschil (To – Ti) worden aangehouden. De uiteindelijke formules voor de berekening van qi kunnen gemakkelijk worden afgeleid door in het rechter lid van de relaties (4a) en (4b) de eerste term te schrappen en de beide overige termen te vermenigvuldigen met ai.
Het totale energiegebruik per etmaal (Q in MJ) als gevolg van de warmteuitwisseling via de dakconstructie kan ten slotte worden berekend door integratie van de betrekkingen voor qi over de tijdvakken t1 → t2 respectievelijk t2 → t1 en het resultaat daarvante vermenigvuldigen met de oppervlakte (A) van het dak.

Wilt u deze tekst in opgemaakte vorm lezen met foto's, klik dan deze link aan, dan ontvangt u de tekst in een PDF bestand 



Deze website wordt mede mogelijk gemaakt door:

Leveranciernaam